matematika fungksi dan relasi

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberi

petunjuk dan kekuatan iman sehingga kami dapat menyelesaikan tugas pembuatan

makalah logika matematika yang diberi judul ”FUNGSI dan RELASI”.

Shalawat serta salam semoga selalu tercurahkan pada Nabi besar Muhamad SAW.

Makalah ini dibuat untuk menyelesaikan tugas dari Ibu Fitri Mintarsih S.Kom.

M.Kom selaku dosen mata kuliah Logika Matematika.

Dalam menyelesaikan laporan ini, kami ingin mengucapkan terima kasih yang

sebesar-besarnya atas bantuan yang diberikan, kepada

:

1.

2.

3.

Semoga Allah SWT senantiasa melimpahkan rahmat dan hidayahNya serta

membalas kebaikan semuanya. Semoga makalah ini dapat berguna bagi diri kami

sendiri, teman-teman dan siapa saja yang ingin memanfaatkannya sebagai referensi

keilmuannya. Atas segala kekurangan dalam penulisan makalah ini,dari lubuk yang

paling dalam kami mohon maaf yang sebesar-besarnya.

Jakata, Nopember 2008

Penyusun

Angga

1

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR......................................................................................1

DAFTAR ISI .................................................................................................... 2

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang ............................................................................ 3

B. Tujun Pembuatan Makalah ......................................................... 3

C. Ruang Lingkup .......................................................................... 3

BAB II PENGERTIAN FUNGSI RELASI DAN JENIS FUNGSI

A. Pengertian relasi ........................................................................... 5

B. pengertian fungsi...........................................................................6

C.Sifat-sifat fungsi.............................................................................7

1. Injektif(satu-satu) ..................................................................... 8

2. Surjektif(Onto) ......................................................................... 8

3. Bijektif( korespondensi satu-satu) ........................................... 9

D.Jenis-jenis fungsi ........................................................................... 9

a. Fungsi Konstan ........................................................................ 9

b. Fungsi identitas ........................................................................ 10

c. Fungsi Linier ............................................................................ 10

d. Fungsi Kuadrad ........................................................................ 10

e. Fungsi Rasional ........................................................................ 10

LATIAN 1

........................................................................................................ 11

2

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Apabila kita cermati, hampir semua fenomena yang terjadi di jagad raya ini mengikuti

hukum sebab akibat. Adanya pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari

perputaran matahari pada porosnya. Jarak (S) yang ditempuh oleh suatu mobil misalnya,

dipengaruhi oleh waktu tempuhnya (t). Demikian juga demand (d) konsumen dipengaruhi

oleh quantity (q) barang dan price(p) nilai harga yang ada di pasaran. Dalam bahasa

matematika dapat dinyatakan bahwa jarak adalah fungsi dari waktu, demand merupakan

fungsi dari jumlah dan harga barang. Ini berati begitu pentingnya pemahaman fungsi

dalam menjelaskan fenomena jagad raya ini.

Namun demikian apabila kita lihat pembelajaran di kampus, tidak sedikit mahasiswa yang

menemui kesulitan dalam pembelajaran konsep-konsep tentang relasi dan fungsi

sehingga kami ditugaskan membuat makalah yang diberikan oleh Ibu Fitri Mintarsih

S.Kom. M.Kom kepada kelompok kami yaitu pembuatan makalah tentang ”FUNGSI

dan RELASI”

B. Tujuan

1.Makalah ini dibuat dengan tujuan meningkatkan wawasan dan kemampuan mahasiswa

agar tidak mendapatkan kesulitan dalam pemelajaran matakuliah tentang relasi dan

fungsi.

2.untuk mendapat tambahan nilai tugas matakuliah logika matematika.

C. Ruang Lingkup

Ruang lingkup materi yang dibahas dalam bahan ajar ini adalah

Pengertian relasi , fungsi , sifat dan jenis-jenis fungsi.

3

BAB II

PENGERTIAN RELASI, FUNGSI, SIFAT DAN JENIS FUNGSI

Setelah mengikuti pembelajaran Bab II ini peserta diklat diharapkan dapat menjelaskan

pengertian relasi, fungsi, sifat, dan jenis fungsi dengan benar.

Galileo Galilei (1564-1642) merupakan salah satu astronom terkenal dari Italia yang

dikenal luas dengan penemuannya tentang hubungan yang sangat teratur antara tinggi

suatu benda yang dijatuhkan dengan waktu tempuhnya menuju tanah, sebagaimana

ditunjukkan dengan tabel berikut:

Waktu t (dalam detik)

Jarak d (dalam kaki)

0

0

1

16

2

64

3

144

4

256

5

400

…

…

Tabel 1.1

Tabel di atas menunjukkan bahwa jarak yang ditempuh d (dalam

kaki/feet) merupakan fungsi dari waktu (dalam menit) dengan

rumus d = (4t)2. Dengan rumus fungsi itu, nilai dari suatu peubah

akan dapat ditentukan jika nilai dari peubah yang satunya

diketahui.

Konsep

“fungsi”

terdapat

hampir

dalam

setiap

cabang

matematika, sehingga merupakan suatu yang sangat penting

artinya dan banyak sekali kegunaannya. Akan tetapi pengertian

dalam matematika agak berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari.

Gb. 2.1

Dalam pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam

matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) yang gambarnya

terlihat di atas digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara

dua himpunan.

Mengingat konsep fungsi menyangkut hubungan atau kaitan dari dua himpunan, maka

disini kita awali dulu pembicaraan kita mengenai fungsi dengan hubungan atau relasi

antara dua himpunan.

4

A.Pengertian Relasi

Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan

elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B.

Contoh:

A = {2,3,4,5,6}

B = {1,2,3,4,5,6}

Relasi : “adalah faktor dari “

Dapat disajikan dalam dua macam cara.

a. Dengan diagram panah

2. 3. 4. 5. 6.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Gb. 2.2

b. Dengan diagram pasangan berurutan.

R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)}

Dengan menggunakan penyajian relasi di atas, maka relasi R dari himpunan A ke

himpunan B dapat kita definisikan sebagai himpunan pasangan (a,b) pada A × B, di

mana a ∈ A dan - b ∈ B salah satu dari kalimat berikut:

(1) “a berelasi dengan b” ditulis a R b atau R(a,b)

(2) “a tidak berelasi dengan b” ditulis a R b atau R (a,b)

Relasi atau hubungan itu dapat terjadi di berbagai bidang misalnya ekonomi,IPA,

keteknikan dan lain sebagainya, seperti hubungan antara jumlah suatu barang dengan

harganya, dalam hubungan antara harga dengan permintaan atau penawaran, dalam

hubungan antara kekuatan suatu zat radioaktif dengan waktu.

5

B. Pengertian Fungsi

Perhatikan diagram dibawah ini:

Relasi fungsional atau sering disingkat fungsi

sering juga disebut dengan istilah pemetaan

a. b. c. d.

A

f

Gb. 2.3

x. y. z. u.  .

B

(mapping) didefinisikan sebagai berikut :

Definisi: Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B.

Ditulis f : A → B dibaca “fungsi f pemetaan A ke dalam / into B”

Apabila f memetakan suatu elemen x ∈A ke suatu y ∈ B dikatakan bahwa y adalah peta

dari x oleh f dan peta ini dinyatakan dengan notasi f(x), dan biasa ditulis dengan f:x →

f(x), sedangkan x biasa disebut prapeta dari f(x).

Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) dari fungsi f , sedangkan himpunan B

disebut daerah kawan (kodomain) sedangkan himpunan dari semua peta di B dinamakan

daerah hasil (range) dari fungsi f tersebut.

Contoh 1:

Diagram sebagaimana pada G.b. 2.4 di atas adalah fungsi karena pertama, terdapat relasi

(yang melibatkan dua himpunan yakni A dan B) dan kedua, pemasangan setiap elemen A

adalah secara tunggal.

Contoh 2

a. b. c. d.

A

f

Contoh 3 :

.x .y .z .u  .

B

Diagram di samping bukan merupakan fungsi

karena ada elemen A yang dipasangkan tidak

secara tunggal dengan elemen pada B.

Diketahui A = {x | -3 ≤ x < 3, x ∈ R} dan suatu fungsi f: A → R

Ditentukan oleh rumus f(x) = x2 + 1

6

a. Carilah f(-1), f(0) dan prapeta dari 5

b. Dengan melukis grafik, tentukan daerah hasil dari fungsi f.

c. Jelaskan bahwa f adalah suatu fungsi.

Jawab:

a. f(x) = x2 + 1 ð f(-1) = (-1)2 + 1 = 2

f(0) = 02 + 1 = 1

Prapeta dari 5 ð x2 + 1 = 5 ó x2 = 4 ó x = +2

Sehingga prapeta dari 5 adalah 2 atau –2

b.

y

Ÿ

y = x2 + 1

Daerah Hasil

Ÿ

yŸ

Ÿ

←

Ÿ

Daerah Hasil

Gb. 2.4

Dibuat grafik y= x2 + 1

f(-3) = (-3)2 + 1 =10

f(3) = (3)2 + 1 = 10

titik balik (0,1)

Jadi daerah hasil dari fungsi f adalah: R = { y | 1 < y < 10, y ∈ R }, karena nilai f(x) = y

terletak pada interval tersebut sebagaimana terlihat pada sumbu y.

c. Karena f suatu relasi dimana setiap elemen pada domain A (sumbu x) dipasangkan

secara tunggal maka f merupakan fungsi.

Ÿ

Ÿ

→

x

C.Sifat Fungsi

Dengan

memperhatikan

bagaimana

elemen-elemen

pada

masing-masing

himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat

fungsi yakni sebagai berikut :

7

1. Injektif (Satu-satu)

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu

(injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen

yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah

fungsi injektif apabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’)

maka akibatnya a = a’.

Contoh:

1. Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab

f(-2) = f(2).

2.

.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8

Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} yang

didefinisikan dengan f(x) = 2x adalah fungsi

satu-satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua

bilangan yang berlainan adalah berlainan pula.

1. 2. 3. 4.

A

F

Gb. 2.10

2. Surjektif (Onto)

B

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A)

dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B, atau f(A)

B. Apabila f(A) = B, yang

berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di

A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A Onto B”

Contoh:

1. Fungsi f: R→R yang didefinisikan dengan rumus f(x) = x2 bukan fungsi yang onto

karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut

2. Gb. 2.11

a. b. c. d.

A

.x .y .z

Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f: A

→ B yang didefinisikan dengan diagram panah adalah

suatu fungsi yang surjektif karena daerah hasil f adalah

sama dengan kodomain dari f (himpunan B).

B Gb. 2.11

8

3.Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang

injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A

dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

Contoh:

1)

a. b. c.

.p .q .r

Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B =

{p,q, r} yang didefinisikan sebagai diagram di

samping adalah suatu fungsi yang bijektif.

Gb. 2.11

2) Fungsi f yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negaranegara di

dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena tidak ada satu

kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang berlainan.

D.Jenis – jenis Fungsi

Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalnya D,

maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka

yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk fungsi-fungsi pada R

kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut.

a. Fungsi Konstan

f : x→ C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap).

Fungsi f memetakan setiap bilangan real dengan C.

Fungsi f: x → 3

y

f (-2) = 3 f (0) = 3 f (5) = 3

3

f(-2) = 3

-2

Gb. 2.5

5

f(-2) = 5

x

f = f(x) = 3

9

b. Fungsi Identitas

Fungsi R→R yang didefinisikan sebagai: f : x→ x disebut fungsi identitas.

3

y

2

f(1) = 1

f(2) = 2

1

0

1

Gb.2.7

c. Fungsi Linear

2

3

f(3) = 3

x

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a

≠ 0 disebut fungsi liniar.

y = f(x)

f(q) – f(p)

α

b

α

q–p

αp

q

x

f(x) = ax + b → f(p) = ap + b                   f(q) = aq + b                 f(q) - f(p)= a(q-p) f (q) (f (p) _=a= tan α , disebut gradien dari garis y = ax + b tersebut.     q-p

Jika garis y = mx + c maka gradiennya adalah m dan melalui titik (0,c).

d. Fungsi Kuadrat

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R

dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

e. Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah suatu fungsi terbentuk f(x) =Q(x) P(x) dengan P(x) dan Q(x)

adalah suku banyak dalam x dan Q(x) ≠ 0.

10

Latihan 1 :

1. Diantara fungsi-fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi injektif, surjektif,

serta bijektif? Berilah penjelasannya!

a.

b.

a. b. c. d.

x. y. z.

a.

b.

c.

w. x. y. z.

c.

a

b

c

x

y

z

d.

a

b

c

d

w

y

x

z

2. Diketahui himpunan D = {1,2,3,4,5}. Suatu relasi pada D ini, manakah yang berupa

pemetaan dan berikan alasannya !

a.R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}

b.R = {(1,2),(2,3),(2,4),(4,5),(5,1)}

c.R = {(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2)}

3.Suatu fungsi f: R→R ditentukan oleh f(x) = x2 + 2

a.Tentukan f(-1), f(a), dan f(1).

b.Tentukan a jika f(a) = 27

c.Anggota manakah dari daerah asal yang mempunyai peta 18 ?

4.Manakah yang merupakan fungsi injektif, surjektif, atau bijektif dari fungsi dengan

domain {1, 2, 3, 4}, yang didefinisikan sebagai berikut?

a. R = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

b. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1); jika kodomainnya {1, 2, 3}

c. R = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4}

d. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 4); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5. Misalkan A = [–1, 1] = {x|–1≤ x ≤ 1, ∈ R}. Apakah fungsi di bawah ini surjektif?

a. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x c. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x2

11

b. f: A → A ; didefinisikan f(x) = 2x – 1 d. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x3

12 NB:maaf yah rada brantakan hehehee